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In der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f ist `!Extremwert`! (oder `!Extremum`!; Plural: `*Extrema`*) der Oberbegriff für ein lokales oder globales `!Maximum`! oder `!Minimum`!.`:cite-ref-0-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-0-1]`_`f] Ein `*globales Maximum`* bzw. `*globales Minimum`* ist der größte bzw. kleinste Wert, den eine Funktion auf ihrem Definitionsbereich annehmen kann.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] Ein `*lokales Maximum`* bzw. `*lokales Minimum`* ist der Wert der Funktion an einer Stelle x {\\displaystyle x} , wenn die Funktion in einer hinreichend kleinen `F33f`_`[Umgebung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Umgebung_(Mathematik)]`_`f keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle x {\\displaystyle x} wird `*lokaler Maximierer`* bzw. `*lokaler Minimierer`*, `*Maximalstelle`* bzw. `*Minimalstelle`* oder zusammenfassend auch `!Extremstelle`! genannt, die Kombination aus Stelle und Wert `!Extrempunkt`! oder je nach Art des Extremums `!Hoch-`! bzw. `!Tiefpunkt`!.

Ein globales Maximum wird auch `*absolutes Maximum`* genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff `*relatives Maximum`* gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Die `F33f`_`[Lösung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lösung_(Mathematik)]`_`f einer `*Extremwertaufgabe`*, für eine einfache Darstellung siehe `F33f`_`[Kurvendiskussion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kurvendiskussion]`_`f, nennt man die `*extremale Lösung`*.

>>Contents

• `F0af`_`[Eindimensionaler Fall`#eindimensionaler-fall]`_`f

• `F0af`_`[Definitionen`#definitionen]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel`#beispiel]`_`f

• `F0af`_`[Einfache Folgerungen aus den Definitionen`#einfache-folgerungen-aus-den-definitionen]`_`f

• `F0af`_`[Existenz von globalen Extrema`#existenz-von-globalen-extrema]`_`f

• `F0af`_`[Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema`#hinreichendes-kriterium-f-r-lokale-extrema]`_`f

• `F0af`_`[Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen`#bestimmung-von-extremstellen-differenzierbarer-funktionen]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Anwendungsbeispiel`#anwendungsbeispiel]`_`f

• `F0af`_`[Mehrdimensionaler Fall`#mehrdimensionaler-fall]`_`f

• `F0af`_`[Definitionen`#definitionen]`_`f

• `F0af`_`[Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen`#bestimmung-von-extremstellen-differenzierbarer-funktionen]`_`f

• `F0af`_`[Unendlichdimensionaler Fall`#unendlichdimensionaler-fall]`_`f

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Existenz, Eindeutigkeit und Geometrie von Extrema`#existenz-eindeutigkeit-und-geometrie-von-extrema]`_`f

• `F0af`_`[Andere Arten von Extremwerten`#andere-arten-von-extremwerten]`_`f

• `F0af`_`[Diskrete Optimierung`#diskrete-optimierung]`_`f

• `F0af`_`[Variationsrechnung`#variationsrechnung]`_`f

• `F0af`_`[Anmerkungen`#anmerkungen]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Eindimensionaler Fall

>>>Definitionen

Es sei D ⊆ ⊆ R {\\displaystyle D\\subseteq \\mathbb {R} } eine `F33f`_`[Teilmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilmenge]`_`f der `F33f`_`[reellen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reelle_Zahl]`_`f (z. B. ein `F33f`_`[Intervall`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Intervall_(Mathematik)]`_`f) und f : : D → → R {\\displaystyle f\\colon D\\to \\mathbb {R} } eine `F33f`_`[Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktion_(Mathematik)]`_`f.

f {\\displaystyle f} hat an der Stelle x 0 ∈ ∈ D {\\displaystyle x_{0}\\in D}

• ein `*lokales Minimum`*, wenn es eine `F33f`_`[Umgebung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Umgebung_(Mathematik)]`_`f U {\\displaystyle U} von x 0 {\\displaystyle x_{0}} in D {\\displaystyle D} gibt, so dass f ( x 0 ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\leq f(x)} für alle x ∈ ∈ U {\\displaystyle x\\in U} gilt;

• ein `*globales Minimum`*, wenn f ( x 0 ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\leq f(x)} für alle x ∈ ∈ D {\\displaystyle x\\in D} gilt;

• ein `*lokales Maximum`*, wenn es eine Umgebung U {\\displaystyle U} von x 0 {\\displaystyle x_{0}} in D {\\displaystyle D} gibt, so dass f ( x 0 ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\geq f(x)} für alle x ∈ ∈ U {\\displaystyle x\\in U} gilt;

• ein `*globales Maximum`*, wenn f ( x 0 ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\geq f(x)} für alle x ∈ ∈ D {\\displaystyle x\\in D} gilt.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

Gibt es eine Umgebung U {\\displaystyle U} von x 0 {\\displaystyle x_{0}} , in der für alle x ≠ ≠ x 0 {\\displaystyle x\\neq x_{0}} sogar die strenge Ungleichung f ( x 0 ) < f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})<f(x)} (bzw. f ( x 0 ) > f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})>f(x)} ) gilt, so spricht man von einem `*strengen`*`:cite-ref-0-1-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-0-1]`_`f] oder `*isolierten`*`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f] `*lokalen Minimum`* (bzw. `*strengen lokalen Maximum`*). Entsprechend sind die Begriffe `*strenges globales Minimum`* bzw. `*strenges globales Maximum`* definiert.`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

Besitzt die Funktion an der Stelle x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein strenges lokales Maximum, so nennt man den Punkt ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} `*Hochpunkt`*, hat sie dort ein strenges lokales Minimum, so heißt der Punkt `*Tiefpunkt`*. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man allgemein von einem `*Extrempunkt`*.`:cite-ref-6[`F5bf`_`[6`#cite-note-6]`_`f]

>>>Beispiel

Betrachtet wird die `F33f`_`[Betragsfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Betragsfunktion]`_`f f : : R → → R , f ( x ) = | x | {\\displaystyle f\\colon \\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} ,\\ f(x)=|x|} . Es gilt | 0 | = 0 {\\displaystyle |0|=0} und | x | > 0 {\\displaystyle |x|>0} für x ≠ ≠ 0 {\\displaystyle x\\neq 0} , also f ( 0 ) < f ( x ) {\\displaystyle f(0)<f(x)} für alle x ≠ ≠ 0 {\\displaystyle x\\neq 0} . Folglich hat f {\\displaystyle f} ein striktes globales Minimum bei x 0 = 0 {\\displaystyle x_{0}=0} . Der zugehörige Tiefpunkt hat die Koordinaten ( 0 , 0 ) {\\displaystyle (0,0)} , befindet sich also im Koordinatenursprung. Die Betragsfunktion f {\\displaystyle f} hat weder lokale noch globale Maxima, denn für alle x , y ∈ ∈ R {\\displaystyle x,y\\in \\mathbb {R} } mit 0 ≤ ≤ x < y {\\displaystyle 0\\leq x<y} oder y < x ≤ ≤ 0 {\\displaystyle y<x\\leq 0} gilt | x | < | y | {\\displaystyle |x|<|y|} ; somit gibt es in jeder Umgebung eines beliebigen x ∈ ∈ R {\\displaystyle x\\in \\mathbb {R} } eine Stelle y {\\displaystyle y} mit f ( x ) < f ( y ) {\\displaystyle f(x)<f(y)} , d. h. einen noch größeren Funktionswert.

>>>Einfache Folgerungen aus den Definitionen

Jedes strikte lokale Minimum (bzw. Maximum) ist insbesondere ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Eine analoge Aussage gilt für strikte globale Minima bzw. Maxima. Dies folgt aus der Implikation f ( x 0 ) < f ( x ) ⇒ ⇒ f ( x 0 ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})<f(x)\\Rightarrow f(x_{0})\\leq f(x)} bzw. f ( x 0 ) > f ( x ) ⇒ ⇒ f ( x 0 ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})>f(x)\\Rightarrow f(x_{0})\\geq f(x)} .

Jedes globale Minimum (bzw. Maximum) ist zugleich ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Eine entsprechende Aussage gilt für strikte globale Minima bzw. Maxima. Dies folgt daraus, dass eine Aussage, die für `*alle`* Elemente einer Grundmenge gilt, erst recht für eine Teilmenge der Grundmenge gilt.

>>>Existenz von globalen Extrema

Jede `F33f`_`[stetige Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stetige_Funktion]`_`f auf einem `F33f`_`[kompakten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kompaktheit_(reelle_Zahlen)]`_`f Intervall nimmt ein globales Maximum und ein globales Minimum an.`:cite-ref-7[`F5bf`_`[A 1`#cite-note-7]`_`f] Dieser `F33f`_`[Satz vom Minimum und Maximum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_vom_Minimum_und_Maximum]`_`f folgt aus dem `F33f`_`[Satz von Heine-Borel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Heine-Borel]`_`f, wird aber oft auch nach `F33f`_`[Karl Weierstraß`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Karl_Weierstraß]`_`f oder `F33f`_`[Bernard Bolzano`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bernard_Bolzano]`_`f benannt. Es handelt sich um eine reine `F33f`_`[Existenzaussage`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Existenzaussage]`_`f, die keine Informationen darüber liefert, wie die Extrema ggf. aufgefunden werden können.

>>>Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema

Ist f {\\displaystyle f} monoton fallend (bzw. steigend) auf einem Intervall ( α α , x 0 ] {\\displaystyle (\\alpha ,x_{0}]} monoton steigend (bzw. fallend) auf [ x 0 , β β ) {\\displaystyle [x_{0},\\beta )} , so hat f {\\displaystyle f} an der Stelle x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Im Falle von strenger Monotonie folgt, dass x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum ist.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. So hat etwa die Funktion, die durch f ( x ) = x 2 ( 1 + sin ⁡ ⁡ ( 1 / x ) ) {\\displaystyle f(x)=x^{2}\\left(1+\\sin(1/x)\\right)} für x ≠ ≠ 0 {\\displaystyle x\\neq 0} und f ( 0 ) = 0 {\\displaystyle f(0)=0} definiert ist, ein lokales Minimum bei x 0 = 0 {\\displaystyle x_{0}=0} , ohne dass sie links von x 0 {\\displaystyle x_{0}} monoton fallend und rechts von x 0 {\\displaystyle x_{0}} steigend ist.`:cite-ref-8[`F5bf`_`[7`#cite-note-8]`_`f]

>>>Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Ist f {\\displaystyle f} eine `F33f`_`[differenzierbare`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differenzierbarkeit]`_`f Funktion auf einer `F33f`_`[offenen Menge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Offene_Menge]`_`f U ⊆ ⊆ R {\\displaystyle U\\subseteq \\mathbb {R} } , so lässt sie sich mithilfe der `F33f`_`[Differentialrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f auf Extremstellen untersuchen.

>>>>Notwendiges Kriterium

Hat f {\\displaystyle f} an einer Stelle x 0 ∈ ∈ U {\\displaystyle x_{0}\\in U} ein lokales Extremum, so ist dort die erste Ableitung gleich null:`:cite-ref-0-1-2[`F5bf`_`[1`#cite-note-0-1]`_`f]

f ′ ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle f'(x_{0})=0\\,} .

Neben lokalen Extrema erfüllen auch `F33f`_`[Sattelpunkte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sattelpunkt]`_`f dieses Kriterium.`:cite-ref-9[`F5bf`_`[A 2`#cite-note-9]`_`f] Ein klassisches Beispiel ist die Funktion f ( x ) = x 3 {\\displaystyle f(x)=x^{3}} , deren Ableitung im Punkt x = 0 {\\displaystyle x=0} verschwindet, ohne dass die Funktion dort ein lokales Extremum hat. Zum Nachweis der Extremwerteigenschaft bedarf es deshalb eines hinreichenden Kriteriums oder weiterer Überlegungen.

>>>>Hinreichende Kriterien

• Ist f {\\displaystyle f} zweimal differenzierbar, und gilt neben f ′ ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle f'(x_{0})=0} auch f ″ ( x 0 ) ≠ ≠ 0 {\\displaystyle f''(x_{0})\\neq 0} , so hat f {\\displaystyle f} an der Stelle x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein strenges lokales Extremum. Ist f ′ ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle f'(x_{0})=0} und f ″ ( x 0 ) > 0 {\\displaystyle f''(x_{0})>0} , handelt es sich dabei um ein strenges lokales Minimum, für f ″ ( x 0 ) < 0 {\\displaystyle f''(x_{0})<0} dagegen um ein strenges lokales Maximum (`*Kriterium der 2. Ableitung`*).`:cite-ref-10[`F5bf`_`[8`#cite-note-10]`_`f]

• Ist f ′ ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle f'(x_{0})=0} und außerdem f ′ {\\displaystyle f'} lokal um x 0 {\\displaystyle x_{0}} `F33f`_`[(streng) monoton`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Monotone_reelle_Funktion]`_`f steigend (bzw. fallend), so hat f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein (strenges) lokales Minimum (bzw. Maximum).`:cite-ref-11[`F5bf`_`[9`#cite-note-11]`_`f]

• Aus den ersten beiden Kriterien folgt eine allgemeinere Aussage: Ist f {\\displaystyle f} `*n`*-mal differenzierbar und gilt

f ′ ( x 0 ) = f ″ ( x 0 ) = … … = f ( n − − 1 ) ( x 0 ) = 0 , f ( n ) ( x 0 ) ≠ ≠ 0 , {\\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\\ldots =f^{(n-1)}(x_{0})=0\\,,\\quad f^{(n)}(x_{0})\\neq 0,}

so folgt:

(1) Ist n {\\displaystyle n} gerade sowie f ( n ) ( x 0 ) < 0 {\\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0} (bzw. f ( n ) ( x 0 ) > 0 {\\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0} ), so hat f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein strenges lokales Maximum (bzw. Minimum).

(2) Ist n {\\displaystyle n} hingegen ungerade, so ist f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} streng monoton steigend oder fallend (hat also dort einen Sattelpunkt).`:cite-ref-12[`F5bf`_`[10`#cite-note-12]`_`f]

• Ist f ′ ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle f'(x_{0})=0} und gilt zudem f ′ ( x ) ≤ ≤ 0 {\\displaystyle f'(x)\\leq 0} (bzw. f ′ ( x ) ≥ ≥ 0 {\\displaystyle f'(x)\\geq 0} ) für alle x < x 0 {\\displaystyle x<x_{0}} und f ′ ( x ) ≥ ≥ 0 {\\displaystyle f'(x)\\geq 0} (bzw. f ′ ( x ) ≤ ≤ 0 {\\displaystyle f'(x)\\leq 0} ) für alle x > x 0 {\\displaystyle x>x_{0}} in einer Umgebung von x 0 {\\displaystyle x_{0}} , so hat f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein lokales Minimum (Maximum).`:cite-ref-13[`F5bf`_`[11`#cite-note-13]`_`f] Gelten sogar die strengen Ungleichungen f ′ ( x ) < 0 {\\displaystyle f'(x)<0} und f ′ ( x ) > 0 {\\displaystyle f'(x)>0} , d. h. wechselt f ′ {\\displaystyle f'} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} das Vorzeichen, so liegt ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum vor (`*Vorzeichenwechselkriterium`*).`:cite-ref-14[`F5bf`_`[12`#cite-note-14]`_`f]

• Für stetige Funktionen auf Intervallen gilt: Zwischen zwei lokalen Minima einer Funktion liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.`:cite-ref-15[`F5bf`_`[13`#cite-note-15]`_`f]

• Für differenzierbare Funktionen auf Intervallen gilt: Gibt es zwei Stellen a , b {\\displaystyle a,b} mit a < x 0 < b {\\displaystyle a<x_{0}<b} , so dass die erste Ableitung im Intervall ( a , b ) {\\displaystyle (a,b)} nur die `F33f`_`[Nullstelle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Nullstelle]`_`f x 0 {\\displaystyle x_{0}} hat, und sind f ( a ) > f ( x 0 ) {\\displaystyle f(a)>f(x_{0})} sowie f ( b ) > f ( x 0 ) {\\displaystyle f(b)>f(x_{0})} , so hat f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein lokales Minimum. Gilt die analoge Bedingung mit f ( a ) < f ( x 0 ) {\\displaystyle f(a)<f(x_{0})} und f ( b ) < f ( x 0 ) {\\displaystyle f(b)<f(x_{0})} , so hat f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein lokales Maximum.

Es gibt allerdings auch Funktionen, bei denen keines der oben genannten Kriterien weiterhilft (siehe das letzte `F33f`_`[Beispiel`#beispiele]`_`f).

>>>Beispiele

• f ( x ) = x 2 + 3. {\\displaystyle f(x)=x^{2}+3.} Die erste Ableitung f ′ ( x ) = 2 x {\\displaystyle f'(x)=2x} hat nur bei x 0 = 0 {\\displaystyle x_{0}=0} eine Nullstelle. Die zweite Ableitung f ″ ( x ) = 2 {\\displaystyle f''(x)=2} ist dort positiv, also nimmt f {\\displaystyle f} bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich f ( 0 ) = 3 {\\displaystyle f(0)=3} .

• f ( x ) = x 4 + 3. {\\displaystyle f(x)=x^{4}+3.} Die erste Ableitung f ′ ( x ) = 4 x 3 {\\displaystyle f'(x)=4x^{3}} hat nur bei x 0 = 0 {\\displaystyle x_{0}=0} eine Nullstelle. Die zweite Ableitung f ″ ( x ) = 12 x 2 {\\displaystyle f''(x)=12x^{2}} ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:

• Auch die dritte Ableitung f ‴ ( x ) = 24 x {\\displaystyle f'''(x)=24x} ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit f ( 4 ) ( x ) = 24 {\\displaystyle f^{(4)}(x)=24} die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.

• Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat f {\\displaystyle f} bei x 0 = 0 {\\displaystyle x_{0}=0} ein lokales Minimum.

• Es ist f ( − − 1 ) = f ( 1 ) = 4 > 3 = f ( 0 ) {\\displaystyle f(-1)=f(1)=4>3=f(0)} , also hat f {\\displaystyle f} im Intervall ( − − 1 , 1 ) {\\displaystyle (-1,1)} ein lokales Minimum. Da die erste Ableitung in diesem Intervall nur die Nullstelle x 0 = 0 {\\displaystyle x_{0}=0} hat, muss das lokale Minimum dort angenommen werden.

• Die Funktion, die durch f ( x ) = exp ⁡ ⁡ ( − − 1 / x 2 ) ⋅ ⋅ sin 2 ⁡ ⁡ ( 1 / x 2 ) {\\displaystyle f(x)=\\exp(-1/x^{2})\\cdot \\sin ^{2}(1/x^{2})} für x ≠ ≠ 0 {\\displaystyle x\\neq 0} und f ( 0 ) = 0 {\\displaystyle f(0)=0} definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie hat bei x = 0 {\\displaystyle x=0} ein globales Minimum.

• Sie ist beliebig oft differenzierbar.

• Alle Ableitungen bei x = 0 {\\displaystyle x=0} sind gleich 0.

• Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.

• Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.

>>>Anwendungsbeispiel

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Lösung von `F33f`_`[Optimierungsproblemen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Optimierungsproblem]`_`f verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

• Wie muss ein `F33f`_`[Rechteck`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rechteck]`_`f aussehen, das bei einem gegebenen Umfang einen maximalen Flächeninhalt hat?

`!Lösungsweg:`!

Wird die Länge des Rechtecks mit a {\\displaystyle a} bezeichnet und seine Breite mit b {\\displaystyle b} ( a , b > 0 {\\displaystyle a,b>0} ), so lautet die Formel für die zu maximierende Rechtecksfläche A = a ⋅ ⋅ b {\\displaystyle A=a\\cdot b} (Zielfunktion). Durch Umstellen der Umfangsformel U = 2 ( a + b ) {\\displaystyle U=2(a+b)} erhält man b = 1 2 U − − a {\\textstyle b={\\frac {1}{2}}U-a} . Einsetzen in die Flächenformel eliminiert die Variable b {\\displaystyle b} in der Zielfunktion:

A ( a ) = − − a 2 + 1 2 U a {\\displaystyle A(a)=-a^{2}+{\\frac {1}{2}}Ua} .

Die notwendige Bedingung liefert Kandidaten für ein lokales Maximum. Dazu bildet man die erste Ableitung

A ′ ( a ) = − − 2 a + 1 2 U {\\displaystyle A'(a)=-2a+{\\frac {1}{2}}U}

und setzt sie gleich null:

− − 2 a + 1 2 U = 0 {\\displaystyle -2a+{\\frac {1}{2}}U=0} .

Hieraus erhält man durch elementare Umformungen als einzigen Kandidaten a 0 = 1 4 U {\\textstyle a_{0}={\\frac {1}{4}}U} .

Die zweite Ableitung lautet

A ″ ( a ) = − − 2 {\\displaystyle A''(a)=-2} .

Sie ist für jedes a {\\displaystyle a} negativ, also insbesondere für a 0 = 1 4 U {\\textstyle a_{0}={\\frac {1}{4}}U} . Somit liegt dort ein lokales Maximum vor, das zugleich das globale Maximum ist (da a 0 {\\displaystyle a_{0}} der `*einzige`* Kandidat für ein lokales Maximum ist). Durch Einsetzen der Maximalstelle in b = 1 2 U − − a {\\textstyle b={\\frac {1}{2}}U-a} erhält man auch b 0 = 1 4 U {\\textstyle b_{0}={\\frac {1}{4}}U} . Also ist der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht). Umgekehrt lässt sich aber auch sagen, dass ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang aufweist, wenn seine Länge und sein Höhe im Verhältnis 1 : 1 {\\displaystyle 1:1} zueinander stehen, d. h. wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

>>Mehrdimensionaler Fall

>>>Definitionen

Ist f {\\displaystyle f} eine Funktion, die von einer Teilmenge D ⊆ ⊆ R n {\\displaystyle D\\subseteq \\mathbb {R} ^{n}} nach R {\\displaystyle \\mathbb {R} } abbildet, so werden die Begriffe des Minimums und des Maximums völlig analog zum eindimensionalen Fall definiert:

f : : D ⊆ ⊆ R n → → R {\\displaystyle f\\colon D\\subseteq \\mathbb {R} ^{n}\\to \\mathbb {R} } hat bei x 0 ∈ ∈ D {\\displaystyle x_{0}\\in D}

• ein `*lokales Minimum`* (bzw. `*lokales Maximum`*), wenn es eine Umgebung U {\\displaystyle U} von x 0 {\\displaystyle x_{0}} in D {\\displaystyle D} gibt, so dass f ( x 0 ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\leq f(x)} (bzw. f ( x 0 ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\geq f(x)} ) für alle x ∈ ∈ U {\\displaystyle x\\in U} ;`:cite-ref-1-16-0[`F5bf`_`[14`#cite-note-1-16]`_`f]

• ein `*globales Minimum`* (bzw. `*globales Maximum`*), wenn f ( x 0 ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\leq f(x)} (bzw. f ( x 0 ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f(x_{0})\\geq f(x)} ) für alle x ∈ ∈ D {\\displaystyle x\\in D} .

>>>Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

Analog zum eindimensionalen Fall ist bei einer `F33f`_`[(total) differenzierbaren Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differenzierbarkeit]`_`f f : : U ⊆ ⊆ R n → → R {\\displaystyle f\\colon U\\subseteq \\mathbb {R} ^{n}\\to \\mathbb {R} } das Verschwinden des `F33f`_`[Gradienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gradient_(Mathematik)]`_`f, d. h. aller `F33f`_`[partiellen Ableitungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Ableitung]`_`f von f {\\displaystyle f} in x i {\\displaystyle x_{i}} -Richtungen, eine notwendige Bedingung dafür, dass f {\\displaystyle f} in einem Punkt x {\\displaystyle x} im Inneren von U {\\displaystyle U} ein lokales Extremum annimmt. Hat f {\\displaystyle f} bei x 0 {\\displaystyle x_{0}} ein lokales Extremum, so muss also gelten:`:cite-ref-1-16-1[`F5bf`_`[14`#cite-note-1-16]`_`f]

grad ⁡ ⁡ f ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle \\operatorname {grad} f(x_{0})=0} .

Ist f {\\displaystyle f} zweimal stetig differenzierbar, so ist in diesem Fall die `F33f`_`[Definitheit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Definitheit]`_`f der `F33f`_`[Hesse-Matrix`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hesse-Matrix]`_`f D 2 f ( x ) {\\displaystyle D^{2}f(x)} hinreichend: Ist sie positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit, handelt es sich um ein lokales Maximum; ist sie indefinit, liegt kein Extrempunkt, sondern ein `F33f`_`[Sattelpunkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Sattelpunkt]`_`f vor. Wenn sie nur semidefinit ist, ist keine Entscheidung anhand der Hesse-Matrix möglich (siehe `F33f`_`[peanosche Fläche`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Peanosche_Fläche]`_`f).`:cite-ref-17[`F5bf`_`[15`#cite-note-17]`_`f]

>>Unendlichdimensionaler Fall

>>>Definition

Der Begriff des Maximums und des Minimums überträgt sich direkt auf den unendlichdimensionalen Fall. Ist X {\\displaystyle X} ein Vektorraum und D ⊂ ⊂ X {\\displaystyle D\\subset X} eine Teilmenge dieses Vektorraumes sowie f : : D → → R {\\displaystyle f\\colon D\\to \\mathbb {R} } ein Funktional, so hat f {\\displaystyle f} an der Stelle x ~ ~ ∈ ∈ D {\\displaystyle {\\tilde {x}}\\in D}

• ein (globales) Minimum, wenn f ( x ~ ~ ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f({\\tilde {x}})\\leq f(x)} für alle x ∈ ∈ D {\\displaystyle x\\in D} ,

• ein (globales) Maximum, wenn f ( x ~ ~ ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f({\\tilde {x}})\\geq f(x)} für alle x ∈ ∈ D {\\displaystyle x\\in D} .

Der Zusatz „global“ wird meist weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist. Ist X {\\displaystyle X} zusätzlich mit einer `F33f`_`[Topologie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Topologie_(Mathematik)]`_`f versehen, also ein `F33f`_`[topologischer Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Topologischer_Raum]`_`f, dann hat f {\\displaystyle f} an der Stelle x ~ ~ ∈ ∈ D {\\displaystyle {\\tilde {x}}\\in D}

• ein lokales Minimum, wenn es eine `F33f`_`[Umgebung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Umgebung_(Mathematik)]`_`f U {\\displaystyle U} von x ~ ~ {\\displaystyle {\\tilde {x}}} gibt, so dass f ( x ~ ~ ) ≤ ≤ f ( x ) {\\displaystyle f({\\tilde {x}})\\leq f(x)} für alle x ∈ ∈ U ∩ ∩ D {\\displaystyle x\\in U\\cap D} gilt,

• ein lokales Maximum, wenn es eine `F33f`_`[Umgebung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Umgebung_(Mathematik)]`_`f U {\\displaystyle U} von x ~ ~ {\\displaystyle {\\tilde {x}}} gibt, so dass f ( x ~ ~ ) ≥ ≥ f ( x ) {\\displaystyle f({\\tilde {x}})\\geq f(x)} für alle x ∈ ∈ U ∩ ∩ D {\\displaystyle x\\in U\\cap D} gilt.

Ein Punkt heißt ein (lokales) Extremum, wenn er ein (lokales) Minimum oder ein (lokales) Maximum ist. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

>>>Existenz, Eindeutigkeit und Geometrie von Extrema

>>>>Existenz

Entsprechend den Existenzaussagen für reelle Funktionen gibt es auch Aussagen für die Existenz von Extremalstellen von Funktionalen. Ist X {\\displaystyle X} ein `F33f`_`[normierter Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normierter_Raum]`_`f, so gilt:

• Ein `F33f`_`[schwach unterhalbstetiges Funktional`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schwach_unterhalbstetige_Funktion]`_`f auf einer `F33f`_`[schwach folgenkompakten Menge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Schwach_folgenkompakte_Menge]`_`f nimmt dort ihr Minimum an.

Da diese Version für die Anwendung und Überprüfung oft unpraktisch ist, schwächt man dies ab zu der Aussage, dass jedes stetige `F33f`_`[quasikonvexe Funktional`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quasikonvexe_Funktion]`_`f auf einer beschränkten, konvexen und abgeschlossenen Teilmenge eines `F33f`_`[reflexiven`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reflexiver_Raum]`_`f `F33f`_`[Banachraums`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Banachraum]`_`f ein Minimum annimmt. Diese Aussage gilt auch für alle konvexen Funktionale, da diese immer quasikonvex sind. Im Endlichdimensionalen kann auf die Konvexität der Teilmenge verzichtet werden.

>>>>Eindeutigkeit

Unter gewissen Umständen sind die Optimalpunkte sogar eindeutig bestimmt. Dazu gehört zum Beispiel die `F33f`_`[strikte Konvexität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Konvexe_und_konkave_Funktionen]`_`f.

>>>>Geometrie

Schränkt man sich auf gewisse Klassen von Funktionalen ein, so kann man Aussagen über die Geometrie der Menge der Extremalpunkte treffen.

• Ist das Funktional quasikonvex auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Minima konvex.

• Ist das Funktional quasikonkav auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Maxima konvex.

• Ist das Funktional konvex auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum.

• Ist das Funktional konkav auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Maximum ein globales Maximum.

>>Andere Arten von Extremwerten

>>>Diskrete Optimierung

Bei diskreten `F33f`_`[Optimierungsproblemen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Optimierung_(Mathematik)]`_`f ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in `*jedem`* Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion f : : D → → R {\\displaystyle f\\colon D\\to \\mathbb {R} } wird daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion N {\\displaystyle N} , die jedem Punkt die Menge seiner `*Nachbarn`* zuordnet,

N : : D → → P ( D ) ; {\\displaystyle N\\colon D\\to {\\mathcal {P}}(D);}

dabei steht P ( D ) {\\displaystyle {\\mathcal {P}}(D)} für die `F33f`_`[Potenzmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Potenzmenge]`_`f von D {\\displaystyle D} .

f {\\displaystyle f} hat dann ein `*lokales Maximum`* in einem Punkt x 0 ∈ ∈ D {\\displaystyle x_{0}\\in D} , wenn f ( x ) ≤ ≤ f ( x 0 ) {\\displaystyle f(x)\\leq f(x_{0})} für alle Nachbarn x ∈ ∈ N ( x 0 ) {\\displaystyle x\\in N(x_{0})} gilt. `*Lokale Minima`* sind analog definiert.

>>>Variationsrechnung

Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, z. B. die Kontur eines Regentropfens mit minimalem Luftwiderstand, sind Gegenstand der `F33f`_`[Variationsrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Variationsrechnung]`_`f.

>>Anmerkungen

`:cite-note-7`!A 1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-7]`_`f Dabei können die Extremstellen auch in den Randpunkte des Intervalls liegen. In diesem Fall spricht man auch von einem `*Randminimum`* bzw. `*Randmaximum`*.

`:cite-note-9`!A 2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-9]`_`f Eine Stelle x 0 ∈ ∈ U {\\displaystyle x_{0}\\in U} , an denen die Bedingung f ′ ( x 0 ) = 0 {\\displaystyle f'(x_{0})=0} erfüllt ist, heißt `*`F33f`_`[kritischer Punkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kritischer_Punkt_(Mathematik)]`_`f`* oder `*stationärer Punkt.`* Kritische Punkte sind mögliche Kandidaten für Extremstellen. Mithilfe der hinreichenden Kriterien identifiziert man unter den kritischen Punkten diejenigen, die tatsächlich Extremstellen sind.

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Optimum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Optimum]`_`f

• `F33f`_`[arg max`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Arg_max]`_`f

• `F33f`_`[Maximumprinzip`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Maximumprinzip_(Mathematik)]`_`f

>>Weblinks

Wiktionary: Extremwert

– Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Extremwerte (erklärt für Schüler)

>>Literatur

• `F33f`_`[Karl Strubecker`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Karl_Strubecker]`_`f: `*Einführung in die Höhere Mathematik, Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen`*. R. Oldenbourg, München / Wien 1967, Kapitel I. Elementare Theorie der Extrema, S. 343–396.

• `F33f`_`[Richard Courant`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Richard_Courant]`_`f: `*Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1.`* 4. Aufl., Springer, Berlin / Heidelberg 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 141–148, 287–288.

• `F33f`_`[Otto Forster`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Otto_Forster]`_`f, Florian Lindemann: `*Analysis 1.`* 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 247–254.

• Otto Forster: `*Analysis II.`* 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02356-0, S. 77–89.

• `F33f`_`[Silvanus P. Thompson`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Silvanus_Phillips_Thompson]`_`f: `*Analysis leicht gemacht.`* 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1988, ISBN 3-87144-739-0, S. 82–98

• `F33f`_`[Theodor Bröcker`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Theodor_Bröcker]`_`f: `*Analysis 1.`* Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-417-2, S. 97–100.

• Vladimir A. Zorich: `*Analysis I.`* Springer, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-33277-0.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-0-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-0-1-0]`_`f Forster, Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. S. 247.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: `F33f`_`[Taschenbuch der Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Taschenbuch_der_Mathematik]`_`f. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 405.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Herbert Amann, `F33f`_`[Joachim Escher`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Joachim_Escher_(Mathematiker)]`_`f: Analysis I. 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 333.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Vladimir A. Zorich: Analysis I. S. 223.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Burkhard Lenze: Basiswissen Analysis. 2. Auflage. Springer, Wiesbaden 2020, ISBN 978-3-658-29921-7, S. 158.

`:cite-note-6`!6.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-6]`_`f Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 254.

`:cite-note-8`!7.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-8]`_`f Oliver Deiser: `*Analysis 1 | Ausblick: Irreguläre lokale Extremwerte.`* In: `*aleph1.info.`* Abgerufen am 15. Oktober 2025.

`:cite-note-10`!8.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-10]`_`f Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. S. 254.

`:cite-note-11`!9.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-11]`_`f Theodor Bröcker: Analysis 1. S. 98.

`:cite-note-12`!10.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-12]`_`f Theodor Bröcker: Analysis 1. S. 99.

`:cite-note-13`!11.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-13]`_`f Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40371-X, S. 146.

`:cite-note-14`!12.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-14]`_`f Vladimir A. Zorich: Analysis 1. S. 248.

`:cite-note-15`!13.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-15]`_`f I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 978-3-8171-2005-5, S. 404.

`:cite-note-1-16`!14.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1-16-0]`_`f Otto Forster: Analysis 2. S. 82.

`:cite-note-17`!15.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-17]`_`f Otto Forster: Analysis 2. S. 84 f.

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